MI CONTRIBUCION

 Otros tipos de axiomas y mas....

Análisis axiomático

Hay varios conceptos que deben conocerse para entender el significado de este axioma. Éstos, son los de «sucesión», «creciente», «acotado superiormente» y «convergencia».

Si tenemos una sucesión infinita de números reales ${\displaystyle \{x_{i}\}=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots )}$, decimos que es creciente (débilmente) si ${\displaystyle x_{i}\leq x_{i+1}}$ para todo ${\displaystyle i}$. La sucesión es acotada superiormente si existe una constante real ${\displaystyle c}$ tal que ${\displaystyle x_{i}\leq c}$. En este caso, el axioma topológico dice que si la sucesión ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ es creciente y acotada superiormente, entonces es convergente, es decir, existe un número real ${\displaystyle x}$ que es el límite de la sucesión: ${\displaystyle x=\lim _{i\rightarrow \infty }x_{i}}$.

Puede verse que los números irracionales no satisfacen este axioma. Por ejemplo, si se toma la secuencia de aproximaciones decimales de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ donde ${\displaystyle x_{1}=1,4}$, ${\displaystyle x_{2}=1,41}$, ${\displaystyle x_{3}=1,414}$ y en general ${\displaystyle x_{n}}$ es el número con las primeras ${\displaystyle n}$ cifras decimales de ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1,4142135623730950488016887242097...}$, entonces todos los ${\displaystyle x_{i}}$ son números racionales que satisfacen las condiciones del axioma, pero el límite no se encuentra en los racionales. Por otra parte, el axioma topológico nos dice que existe un número real que es el límite de cualquier sucesión que se obtenga al tomar las cifras decimales parciales de una secuencia de dígitos arbitraria. De esta forma las representaciones decimales infinitas no periódicas representan siempre números reales, y es posible demostrar que todo número real puede escribirse como el límite de una de estas secuencias, aunque no siempre de manera única.

Análisis axiomático

• El axioma (1.2) dice geométricamente que si ${\displaystyle x\,\!}$ está a la izquierda de ${\displaystyle y\,\!}$ y este a su vez a la izquierda de ${\displaystyle z\,\!}$, entonces debe estar ${\displaystyle x\,\!}$ a la izquierda de ${\displaystyle z\,\!}$. Esta interpretación es bastante útil.

(R,+, ⋅ , ≤) es un cuerpo ordenado.

Axioma topológico

Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo siguiente, si se quiere.

Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente. Axiomas de orden Los axiomas de orden establecen una relación de cantidad. Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es «menor» que otro si está contenido en este, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra. Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo ${\displaystyle <\,\!}$ que nos dirá si un número es mayor o menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo ${\displaystyle =\,\!}$ que ya conocemos. Se dirá que ${\displaystyle x<y\,\!}$ o ${\displaystyle y>x\,\!}$ solo si ${\displaystyle x\,\!}$ es menor que ${\displaystyle y\,\!}$. O dicho de otra forma, si ${\displaystyle y\,\!}$ es mayor que ${\displaystyle x\,\!}$. De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto  tal que  si y solo si . información sustraída de: https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_los_n%C3%BAmeros_reales